semigroep <S,*>
    verzameling S
    binaire bewerking *  : S x S -> S

  - gesloten:
    als "a in S && b in S"  dan ook "a*b in S"

  - associatief:
    (a*b)*c = a*(b*c)

monoide <M,*>
  - <M,*> is een semigroep

  - neutraal element:  ( ook wel 'nul-element' )
    'e' zdd    voor alle a uit M : a*e=e*a=a

groep <G,*>
  - <G,*> is een monoide

  - inverse:
    voor alle a in G bestaat een element a^-1 zdd  a * a^-1 = a^-1 * a = e

abelse groep <G,*>
  - <G,*> is een groep

  - commutatief:
    a * b = b * a


ring <R,+,.>
  - <R,+> is een abelse groep
  - <R,.> is een semigroep

  - links en rechts distributief:
    a.(b+c) = a.b + a.c
    (b+c).a = b.a + c.a

integriteitsgebied <I,+,.>   ( engels: 'integral domain' )
  - <I,+,.> is een ring
  - . is commutatief
  - er is een '1' element ( neutraal element voor de . )
  - geen nuldelers:
      er is geen a,b!=0 in I zdd  a.b=0

lichaam <L,+,.>             ( engels: 'field' )
  - <L,+,.> is een ring
  - <L\{0},.> is een abelse groep

  def: 
     karakteristiek van L
     kleinste positieve natuurlijke getal p
     zdd p keer L'1' = L'0'
        ( L'1' + L'1' + ... + L'1'  = L'0' )
	  p is altijd een priem getal.
     als dit getal niet bestaat, is de karakteristiek 0.

euclidische ring <E,+,.>
  - <E,+,.> is een integriteits gebied
  - er bestaat een euclidische functie  g:E -> N
  zdd
     - als a in E\{0},  dan is g(a) in N
	  - g(a.b) >= g(a)
	  - a,b in E,  b!=0
	     -> er bestaan  l,m in E zdd  a=b*l+m  met g(m)<g(b) of m=0

getallenlichaam <Q(t)>   (engels: 'number field')
  - deel lichaam van C  (complexe getallen)
eigenschappen:
  * de algebraische gehelen vormen een integriteits gebied


ideaal <A>
   - deel verzameling van ring <R,+,.>
	- als a,b in A,  en l,m in R  dan is l*a+m*b ook in A.

------------------------------------------

deelbaarheid:
	a|b  als er een c bestaat zdd b=a*c

	eenheden zijn die getallen die deelbaar zijn op 1:  e|1

priemgetal:
   p, zdd p alleen delers  -1, +1, -p, +p heeft.
	en dat geldt:  p|ab => p|a || p|b

gcd:
   voor elke a,b is er een gcd zdd 
	- gcd|a && gcd|b
	- voor alle  d met  d|a && d|b  =>  d|g

geheel algebraisch getal:
	een getal dat een nul punt is van een moniek polynoom over Z.

gehelen in Q(sqrt(m)),  m kwadraat-vrij.
   m==2(mod4), m==3(mod4)  : vorm = a+b*sqrt(m)
	m==1(mod4)              : vorm = a+b*(1+sqrt(m))/2


-----------------------------------------

polynoom ring

	- een ring <R,+,.>
- een polynoom f(x) over R = sum(a[i]*x^i, i=0..n), a[n]!=0
	de grootste i waarvoor a[i]!=0 is de graad van de polynoom.
- als a[n]=1  dan is de polynoom moniek.
- de verzameling polynomen wordt genoteerd als R[x]

- f(x)= sum(a[i]*x^i, i=0..n) en
  g(x)= sum(b[i]*x^i, i=0..m)

  som: f(x)+g(x)= sum( (a[i]+b[i])*x^i, i=0..max(n,m))
  product: f(x).g(x)= sum( sum(a[k]*b[j], k+j=i ) *x^i, i=0..n+m)